ميكانيكا المواد — درس تفاعلي متكامل

رحلة قوة داخل جائز ظفري: من الحِمل إلى الانهيار إلى الحل

جائز ظفري (كابولي) مثبّت في جدار من جهة وحرّ من الجهة الأخرى — كرفّ الكتب، وجناح الطائرة، والشرفة. سنتتبّع قوةً تتحرك عليه خطوةً بخطوة: أين يتولّد العزم؟ كيف يتحوّل إلى إجهاد داخل المادة؟ وكيف نهزمه بتغيير شكل المقطع فقط؟ كل خطوة في هذه الصفحة تتغذّى حيّاً من التي قبلها — جرّب أي منزلق وراقب الأثر يسري في الدرس كله.

Mechanics of Materials — a complete interactive lesson

A force's journey inside a cantilever: from load to failure to solution

A cantilever beam is fixed into a wall at one end and free at the other — like a bookshelf, an aircraft wing, or a balcony. We'll trace a force moving along it step by step: where is the moment generated? How does it turn into stress inside the material? And how do we defeat it just by changing the shape of the section? Every step on this page feeds live from the one before it — move any slider and watch the effect ripple through the whole lesson.

القوة المتحركة وعزم الانحناء

حرّك القوة على طول الجائز، وحرّك «سكين القطع» لتفحص أي مقطع تريد.

The moving force and the bending moment

Move the force along the beam, and move the "cut knife" to inspect any section you like.

M (x) = P (a - x), M_{m a x} = P a

القوة P (kN)30

موضع القوة a من الجدار (mm)40

موضع المقطع المدروس x (mm)0

مخطط عزم الانحناء على طول الجائز (أكبر ما يكون عند الجدار، وصفر بعد القوة):

العزم عند مقطعك M(x) = P·(a−x)

1,200,000

N·mm

أقصى عزم (عند الجدار)

1,200,000

N·mm — هنا يبدأ الكسر عادةً

جرّب: ضاعف القوة P يتضاعف العزم. ضاعف المسافة a يتضاعف العزم أيضاً — لهذا حمل خفيف في طرف رفّ طويل قد يكون أخطر من حمل ثقيل قرب الجدار. وحرّك المقطع x بعد موضع القوة: العزم يصبح صفراً، فذلك الجزء من الجائز «لا يعلم» بوجود القوة أصلاً.

العزم يتحوّل إلى إجهاد داخل المقطع

الآن «نفتح» المقطع A-A وننظر داخله. المقطع مستطيل 20×50 mm، إذن c = 25 mm و I = bh³/12 = 208,333 mm⁴.

The moment turns into stress within the section

Now we "open" section A-A and look inside. The section is a 20×50 mm rectangle, so c = 25 mm and I = bh³/12 = 208,333 mm⁴.

σ (y) = \frac{M y}{I}, σ_{m a x} = \frac{M c}{I}, I = \frac{b h ^{3}}{12} = 208, 333 m m^{4}

σ(y) = M·y / I ← M يصلك حيّاً من الخطوة ١:1,200,000 N·mm

موضع الليف y داخل المقطع (mm)+25

الإجهاد عند هذا الليف σ(y)

144.0

MPa — شدّ

الإجهاد الأقصى σ_max = M·c/I

144.0

MPa عند السطح y = ±25

الأمان (فولاذ طري، خضوع 250 MPa)

آمن — معامل أمان 1.74

لاحظ الترابط: عُد إلى الخطوة ١ وحرّك القوة بعيداً عن الجدار — المثلث البنفسجي هنا يكبر فوراً. ولاحظ أن الجائز الظفري «معكوس» عن الجسر البسيط: الشدّ في الأعلى والضغط في الأسفل، لهذا تنكسر الشرفات من سطحها العلوي عند الجدار.

Notice the linkage: go back to Step 1 and move the force away from the wall — the purple triangle here grows at once. And note that a cantilever is "inverted" compared with a simple beam: tension on top and compression on the bottom — which is why balconies crack at their top surface near the wall.

الحل الهندسي: انقل المعدن إلى حيث يعمل

I = ∫y²·dA — كل قطعة معدن تساهم بمربّع بُعدها عن المحور المحايد. بنفس المساحة (1000 mm²، نفس الوزن والكلفة) نحوّل المستطيل إلى شكل I.

The engineering fix: move the metal to where it works

I = ∫y²·dA — every piece of metal contributes by the square of its distance from the neutral axis. With the same area (1000 mm², same weight and cost) we turn the rectangle into an I shape.

I = \int y^{2} d A

نفس العزم من الخطوة ١:1,200,000 N·mm— فقط الشكل يتغيّر

عرض الشفتين B (mm)20

عزم القصور I

208,333

mm⁴ (كان 208,333)

σ_max بالشكل الجديد

144.0

MPa — نفس المستطيل

الأمان بعد التحسين

آمن — معامل أمان 1.74

المستطيل الأصلي (بنفس العزم الحالي):

مقطعك المحسّن:

التحدي الكامل: اضبط الخطوة ١ على أسوأ حالة (P = 60 عند a = 200) — ستجد المستطيل قد تجاوز حد الخضوع بمراحل. ثم وسّع الشفتين هنا وراقب: هل يكفي تغيير الشكل وحده لإنقاذ التصميم، أم يجب أيضاً تقصير الذراع أو تخفيف الحمل؟ هذا بالضبط حوار المصمّم اليومي مع المعادلة σ = Mc/I.

The full challenge: set Step 1 to the worst case (P = 60 at a = 200) — you'll find the rectangle has gone well past the yield limit. Then widen the flanges here and watch: is changing the shape alone enough to save the design, or must you also shorten the lever arm or reduce the load? This is exactly the designer's daily dialogue with the equation σ = Mc/I.

سلسلة القصة كاملةً — بأرقامك الحالية

P × (a − x)1,200,000 N·mm

→

÷ I, × cσ = 144.0 MPa

→

تحسين الشكلσ = 144.0 MPa

→

الحصيلة0% تخفيض

درس تفاعلي — الجائز الظفري ومعادلة الانحناء σ = Mc/I. جميع الحسابات تجري في متصفحك مباشرةً.

Interactive lesson — the cantilever beam and the bending equation σ = Mc/I. All calculations run directly in your browser.